Cálculos fundamentales

Combinatoria

La combinatoria es una rama de las matemáticas que se dedica al estudio de la enumeración, combinación y permutación de conjuntos de elementos. Es decir, se trata de contar de cuántas formas diferentes se pueden organizar o seleccionar elementos de un conjunto. Dentro de la combinatoria debemos conocer 3 conceptos claves, que son: permutaciones, combinaciones y el principio de multiplicación.

• Permutaciones: Una permutación es un arreglo o reordenamiento de todos los elementos de un conjunto. Por ejemplo, si tenemos el conjunto {A, B, C}, las permutaciones serían ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Para un conjunto de 𝑛 elementos, hay 𝑛! (n factorial) permutaciones posibles.

• Combinaciones: Una combinación es una selección de elementos de un conjunto donde el orden no importa. Por ejemplo, si tenemos el conjunto {A, B, C} y queremos seleccionar 2 elementos, las combinaciones posibles son AB, AC, y BC. El número de combinaciones de 𝑛 elementos tomados de 𝑘 en 𝑘 se calcula con la fórmula 

  (𝑛𝑘)

• Principio de multiplicación: Si una tarea puede realizarse de 𝑛 maneras y otra tarea puede realizarse de 𝑚 maneras, entonces ambas tareas pueden realizarse en 𝑛×𝑚 maneras.
  

La seguridad en la informática

La seguridad en informática y comunicaciones depende en gran medida de la combinatoria. La seguridad se refiere a las medidas y técnicas utilizadas para proteger la información y los sistemas contra accesos no autorizados, ataques y daños. En el contexto de la informática y la tecnología, hablamos principalmente de seguridad informática o ciberseguridad. Dentro de la ciberseguridad, podemos destacar 3 conceptos clave:

• Confidencialidad: Garantizar que solo las personas autorizadas puedan acceder a la información.

• Integridad: Asegurar que la información no sea alterada de manera no autorizada.

• Disponibilidad: Asegurar que la información y los sistemas estén disponibles para los usuarios autorizados cuando sea necesario.

La relación entre seguridad y combinatoria es especialmente evidente en el campo de la criptografía, que es el estudio de técnicas para proteger la información a través de códigos y cifrados.

• Contraseñas y combinaciones: La fuerza de una contraseña depende de su longitud y complejidad. La combinatoria nos ayuda a entender cuántas posibles contraseñas existen. Por ejemplo, si una contraseña tiene 8 caracteres y cada carácter puede ser una letra minúscula, una letra mayúscula, un número o un símbolo (digamos 62 opciones en total), el número de posibles contraseñas es $628$.

• Ataques de fuerza bruta: Los ataques de fuerza bruta intentan probar todas las combinaciones posibles de contraseñas hasta encontrar la correcta. La combinatoria nos permite calcular cuánto tiempo podría tomar un ataque así, basándonos en la velocidad de prueba de combinaciones y el número total de combinaciones posibles.

• Cifrado: Los algoritmos de cifrado utilizan principios combinatorios para mezclar y permutar datos de manera que solo alguien con la clave correcta pueda desencriptar la información. Por ejemplo, el cifrado AES utiliza una serie de permutaciones y sustituciones para transformar el texto claro en texto cifrado.

Cálculos matemático

Ejemplo práctico caja fuerte.

Supongamos que una caja fuerte tiene un código de combinación de n dígitos, cada uno de los cuales puede ser cualquier número del 0 al 9.

La fórmula para calcular el número de combinaciones posibles es:

Número de combinaciones = 

Donde:

• 𝑛 es el número de dígitos en el código.

• 10 es la cantidad de opciones posibles para cada dígito (0 a 9).

Ejemplos

• Código de 4 dígitos:

             = 10.000 combinaciones posibles

• Código de 6 dígitos:

             = 1.000.000 combinaciones posibles

• Código de 8 dígitos:

             = 100.000.000 combinaciones posibles

A medida que se incrementa el número de dígitos en el código, el número de combinaciones posibles crece exponencialmente, aumentando la seguridad.

Añadiendo Letras

Ahora, imaginemos que además de números, el código de la caja fuerte también puede incluir letras. Supongamos que podemos utilizar tanto letras mayúsculas como minúsculas (52 letras en total) junto con los números (10 dígitos).

En este caso, la fórmula para calcular el número de combinaciones posibles es:

Número de combinaciones = 

Donde:

• 62 es la cantidad total de opciones posibles (26 letras mayúsculas + 26 letras minúsculas + 10 números).

• 𝑛 es el número de caracteres en el código.

Ejemplo

• Código de 4 caracteres (letras y números):

             = 14.776.336 combinaciones posibles

• Código de 6 caracteres (letras y números):

             = 56.800.235.584 combinaciones posibles

• Código de 8 caracteres (letras y números):

             = 218.340.105.584.896 combinaciones posibles

Como se puede observar, la inclusión de letras junto con números incrementa enormemente el número de combinaciones posibles.

Otro ejemplo práctico contraseña.

Supongamos que quieres crear una contraseña segura para una cuenta. Sabes que puedes usar letras (mayúsculas y minúsculas), números y símbolos, y decides que tu contraseña tendrá 10 caracteres.

1. Número de opciones por carácter: Digamos que tienes 62 opciones (26 letras minúsculas + 26 letras mayúsculas + 10 números) + 10 símbolos especiales, totalizando 72 opciones.
2. Número total de combinaciones: Para una contraseña de 10 caracteres, el número de posibles combinaciones es $$

Esto es un número extremadamente grande de combinaciones posibles, lo que hace que una contraseña de 10 caracteres con esta variedad sea muy difícil de adivinar mediante un ataque de fuerza bruta.